• Вычислим работу, используя не второй закон Ньютона, а выражение сил взаимодействия между телами в зависимости от расстояний между ними. Это позволит нам ввести понятие потенциальной энергии, зависящей не от скоростей тел, а от расстояний между телами (или от расстояний между частями одного и того же тела).
• Так как силы могут быть самыми разнообразными, то нужно рассмотреть различные случаи. Мы ограничимся наиболее простыми.

Потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли

Рассмотрим вначале работу внутренних сил системы, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела, например камня. При небольших расстояниях от поверхности Земли эту силу можно считать постоянной и равной:

Сила, действующая на камень, направлена вертикально вниз. Вычислим работу этой силы при перемещении камня вверх вдоль прямой ВС (рис. 6.9).

Рис. 6.9

Начальная точка В находится на высоте h 1 над Землей, а конечная точка С - на высоте h 2 . Ось Y направим вертикально вверх, а ось X вдоль поверхности Земли. Работа

Так как Δy = h 2 - h 1 (см. рис. 6.9), то

При движении камня вверх сила тяжести совершает отрицательную работу. Если бы камень двигался вниз, то работа была бы положительной.

Работой силы, действующей на Землю со стороны камня, можно пренебречь, так как перемещение Земли ничтожно мало из-за ее огромной массы(1).

Итак, работу силы тяжести можно представить в виде разности двух значений величины, зависящей от взаимного расположения тела и Земли.

Величину, равную произведению массы т тела на ускорение свободного падения g и высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной(2) энергией взаимодействия тела и Земли. Обозначим потенциальную энергию через Е p:

С учетом (6.6.3) выражение для работы (6.6.2) запишется так:

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Когда сила тяжести совершает отрицательную работу, то потенциальная энергия увеличивается: Е p2 > Е p1 , При совершении положительной работы потенциальная энергия, напротив, уменьшается:

Е р2 < Е p1

Из выражения (6.6.2) видно, что работа силы тяжести определяется лишь изменением высоты h 2 - h 1 тела над поверхностью Земли, но не зависит от перемещения его в горизонтальном направлении. Это справедливо не только для работы при перемещении тела вдоль прямой, но и для работы на произвольном участке пути. В самом деле, если тело перемещается вдоль кривой ВС из точки, находящейся над землей на высоте h 1 , в точку, лежащую на высоте h 2 (рис. 6.10), то работа вдоль этой кривой равна работе вдоль ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков малой длины. На горизонтальных отрезках работа равна нулю, а сумма работ на вертикальных отрезках равна работе на вертикальной прямой длиной h 2 - h 1 . Поэтому работа по-прежнему будет выражаться формулой (6.6.2).

Рис. 6.10

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела . На замкнутой траектории работа равна нулю, так как изменение потенциальной энергии при этом равно нулю.

Именно независимость работы силы тяжести от формы траектории, по которой перемещается тело, позволяет ввести понятие потенциальной энергии.

Работа силы упругости

Вычислим работу, которую совершает растянутая пружина при перемещении прикрепленного к ней тела.

На рисунке 6.11, а показана пружина, у которой один конец закреплен неподвижно, а к другому концу прикреплен шар. Если пружина растянута (рис. 6.11, б), то она действует на шар с силой 1 направленной к положению равновесия шара, в котором пружина не деформирована. Начало отсчета оси X совместим с концом пружины в нерастянутом состоянии.

Рис. 6.11

Вычислим работу силы упругости при перемещении шара из точки с координатой х 1 в точку с координатой х 2 . Из рисунка 6.11, в видно, что модуль перемещения |Δ| = х 1 - х 2 .

При деформации пружины сила упругости изменяется линейно с изменением координаты: F = k|x|. Для вычисления работы воспользуемся графиком зависимости силы от координаты шара (рис. 6.12). Как было показано в § 6.2, работу силы упругости при перемещении |Δ| = х 1 - х 2 можно считать численно равной площади трапеции BCDM. Обозначив через F 1 модуль силы упругости в начальном положении шара, а через F 2 - в конечном, получим

Рис. 6.12

Величину можно рассматривать как среднее значение силы, действующей на шар. При линейной зависимости силы от расстояния это среднее значение равно полусумме начального и конечного значений силы.

Теперь рассмотрим два тела, соединенных пружиной и лежащих на гладкой горизонтальной поверхности. Будем считать для простоты, что тела могут перемещаться только вдоль прямой, совпадающей с осью пружины. Модули сил, с которыми взаимодействуют тела, равны:

где l - расстояние между телами, а l 0 - длина пружины в нерастянутом состоянии.

Пусть в начальном положении длина пружины равна l 1 (рис. 6.13, а), а в конечном l 2 (рис. 6.13, б) (l 1 > l 2). При сокращении пружины на Δl = l 1 - l 2 первое тело переместится на расстояние Δl I , а второе на расстояние Δl II (см. рис. 6.13, б), так что

Рис. 6.13

Согласно формуле (6.6.5) работа силы упругости по перемещению первого тела равна:

Аналогично работа по перемещению второго тела

Учитывая, что Δl I + Δl II = l 1 - l 2 , приходим к выводу: полная работа внутренних сил системы (сил упругости в данном случае) равна:

Выражение (6.6.7) нетрудно преобразовать к виду

где Δl 1 = l 1 - l 0 , а Δl 2 = l 2 - l 0 - деформация пружины в начальном и конечном состояниях(3).

Потенциальная энергия деформированной пружины

Формула (6.6.8) показывает, что работа силы упругости может быть представлена как изменение величины

взятое с противоположным знаком.

При сжатии (или растяжении) пружины

Величина Е в формуле (6.6.9) представляет собой потенциальную энергию тел, взаимодействующих посредством пружины.

Работа сил упругости зависит только от деформации пружины, определяемой начальной и конечной длиной пружины. От формы траектории тел, на которые действует пружина, работа А не зависит, подобно тому как не зависит от формы пути работа сил тяжести. Ведь при перемещении любого тела перпендикулярно оси пружины, когда ее длина не меняется, работа будет равна нулю, так как при этом сила перпендикулярна перемещению. Работа определяется разностью значений потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях.

Заметим, что потенциальная энергия, определяемая выражением (6.6.9), не зависит от свойств тел, которые связывает пружина. Эту энергию следует считать сконцентрированной в пружине.

Консервативные силы

Мы показали, что работа силы тяжести вблизи поверхности Земли и работа сил упругости растянутой пружины не зависят от формы траектории и могут быть представлены как изменения зависящей от координат величины - потенциальной энергии, взятые с противоположным знаком.

Этот результат оказывается справедливым не только для рассмотренных нами сил, но и для любых сил, зависящих от расстояний между телами, но не зависящих от их скоростей. Как мы скоро увидим, механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется в замкнутой системе лишь в том случае, когда в ней действуют силы, зависящие только от расстояния. Такие силы называются консервативными, т. е. сохраняющимися (вспомните: консервы). Системы, в которых действуют только эти силы, также называют консервативными.

Работа консервативных сил всегда может быть представлена как приращение потенциальной энергии, взятое с противоположным знаком:

Потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством гравитационных сил

Возможные формы потенциальной энергии не исчерпываются выражениями (6.6.3) и (6.6.9). Так, потенциальная энергия двух тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил всемирного тяготения, в общем случае записывается так:

где G - гравитационная постоянная.

Чтобы обосновать справедливость формулы (6.6.12), решим обратную задачу. Докажем, что, взяв потенциальную энергию в виде (6.6.12), мы получим для силы взаимодействия точечных тел закон всемирного тяготения Ньютона.

Вычислим, используя формулу (6.6.12), работу по перемещению на малое расстояние |Δ| = г 2 - г 1 точечного тела массой m 1 взаимодействующего с неподвижным точечным телом массой m 2 (рис. 6.14).

Рис. 6.14

Если |Δ| мало, то силу взаимодействия тел массами m 1 и m 2 можно считать постоянной. Работа в этом случае равна:

так как сила и перемещение направлены в противоположные стороны.

Подставляя в эту формулу значение потенциальной энергии (6.6.12), получим:

Если |Δ| << r 2 и |Δ| << r 2 , то r 1 r 2 ≈ r 2 .

Допустив, что потенциальная энергия имеет форму (6.6.12), мы пришли к правильному выражению для силы всемирного тяготения.

Можно показать, что выражение для потенциальной энергии Е p = mgh представляет собой частный случай формулы (6.6.12), когда изменение высоты h тела над поверхностью Земли много меньше ее радиуса R.

В самом деле, пусть начальная высота тела массой m над поверхностью Земли равна h 1 а конечная - h 2 . Тогда согласно формулам (6.6.11) и (6.6.12) будем иметь:

Так как R >> h 1 и R >> h 2 , то приближенно

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = G. Поэтому

и, следовательно, Е p = mgh.

Работа сил, зависящих только от расстояний между телами системы (но не от их скоростей), не зависит от формы траектории. Поэтому работу можно представить как разность значений некоторой функции, называемой потенциальной энергией, в конечном и начальном состояниях системы. Значение потенциальной энергии зависит от характера действующих сил.

(1) Разумеется, это справедливо в системе отсчета, которая не перемещается вдоль оси Y.

(2) От латинского слова potentia - возможность.

(3) Это легко проверить, если произвести все действия в формулах (6.6.7) и (6.6.8) и сравнить результаты.

Упругое тело, будучи деформировано, является аккумулятором энергии, затраченной на деформацию. При устранении действующих сил эта энергия отдается упругим телом в том или ином виде. Использование упругого аккумулятора энергии широко распространено и находит применение в конструкции заводного механизма часов, некоторых самопишущих приборов и т. п.

В общем случае внешние силы, прикладываемые к упругому телу, производят работу А, которая идет, с одной стороны, на сообщение скорости частицам тела, то есть переходит в кинетическую энергию Т, с другой - накапливается в виде потенциальной энергии деформации. Уравнение баланса энергии есть

Величина U представляет собою ту часть работы, которая тратится на деформирование тела и, если тело упруго, остается в нем до тех пор, пока нагрузка не изменяется. Для подсчета величины U нужно предположить, что внешняя сила прикладывается таким образом, что кинетическая энергия Т равна нулю. Для этого нужно, чтобы сила Р прикладывалась не сразу, а постепенно, а именно возрастала от нуля до максимума так медленно, что можно считать скорость деформации практически отсутствующей и пренебречь силами инерцин. В этом и только в этом случае внутренние силы упругости в каждый момент процесса уравновешиваются внешними силами, и поэтому можно приняты

Процесс деформации можно представить как последовательность бесконечно малых приращений удлинения вызываемых ростом силы Р, которая при растяжении - сжатии однозначно связана с удлинением законом Гука:

Приращению удлинения соответствует элементарная работа:

Интегрируя от до конечного значения имеем:

Заменяя здесь силу Р ее выражением по закону Гука (28.2), получим:

Приводим еще две эквивалентные формы записи выражения потенциальной энергии растяжения:

При пользовании формулами (28.5) и (28.6) нужно помнить, что Р представляет собою внешнюю силу лишь тогда, когда стержень находится в состоянии покоя. В динамических задачах сила, растягивающая стержень, вообще говоря, составляет сумму внешней силы и силы инерции. Эта сумма и фигурирует в формулах (28.5) и (28.6).

Энергию упругой деформации растяжения - сжатия удобно относить к единице объема стержня. Эта величина выражается так:

В стержне, приведенном в пластическое состояние, работа внешней деформирующей силы расходуется также и на пластическое деформирование. Соответствующая часть работы связана с необратимыми изменениями размеров и переходит в иемеханические виды энергии. Уравнение баланса энергии будет

Практическая работа № 5

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.

СРАВНЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ РАСТЯНУТОЙ ПРУЖИНЫ С ИЗМЕНЕНИЕМ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛА.

Оборудование: два штатива для фронтальных работ; динамометр учебный; шар; нитки; листы белой и копировальной бумаги; линейка измерительная; весы учебные со штативом; гири.

З а д а н и е

Сравните уменьшение потенциальной энергии растянутой пружины с увеличением кинетической энергии тела, связанного с пружиной.

Теоретические основы работы.

На основании закона сохранения и превращения энергии при взаимодействии тел силами упругости изменение потенциальной энергии растянутой пружины должно быть равно изменению кинетической энергии связанного с ней тела, взятому с противоположным знаком:

∆Eс = – ∆ Ek

Для экспериментальной проверки этого утверждения можно воспользоваться установкой, изображенной на рисунке 1. В лапке штатива закрепляют динамометр. К его крючку привязывают шар на нити длиной 60—80 см. На другом штативе на одинаковой высоте с динамометром укрепляют в лапке желоб. Установив шар на краю желоба и удерживая его, отодвигают второй штатив от первого на длину нити. Если отодвинуть шар от края желоба на х, то в результате деформации пружина приобретет запас потенциальной энергии

где k — жесткость пружины.

Затем шар отпускают. Под действием силы упругости шар приобретает скорость v. Пренебрегая потерями, вызванными действием силы трения, можно считать, что потенциальная энергия растянутой пружины полностью превратится в кинетическую энергию шара:

Скорость шара можно определить, измерив дальность его полета s при свободном падении с высоты h. Из выражений v= и следует, что Тогда

Целью работы является проверка равенства:

С учетом равенства Fy= kx получим:

1. Укрепите на штативах динамометр и желоб на одинаковой высоте h =40 см от поверхности стола. Зацепите за крючок динамометра нить, привязанную другим концом к шару. На предполагаемое место падения шара положите лист белой бумаги и сверху него лист копировальной бумаги.

Расстояние между штативами должно быть таким, чтобы шар находился на краю желоба при натянутой нити и отсутствии деформации пружины динамометра.

2. Отодвигайте шар от края желоба до тех пор, пока показания динамометра не станут равными Fy=2H. Отпустите шар и заметьте место его падения на стол по отметке на листе бумаги.

Опыт повторите не менее 10 раз. Определите среднее значение дальности полета sср.

3. Измерьте деформацию x пружины динамометра при силе упругости Fy=2 Н. Вычислите потенциальную энергию растянутой пружины.

4. Измерьте массу шара с помощью весов и вычислите увеличение его кинетической энергии.

5. Результаты измерений и расчетов занесите в отчетную таблицу.

Отчетная таблица

6. Сделайте вывод о выполнении закона сохранения энергии.

Контрольные вопросы

В каких случаях выполняется закон сохранения механической энергии? Чем можно объяснить неточное равенство изменений потенциальной энергии пружины и кинетической энергии шара?

Потенциальная энергия имеется у системы взаимодействующих тел. Но отдельное деформированное тело также обладает такого типа энергией. В таком случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения частей тела.

Энергия упругой деформации

Если груз, подвешенный на проволоке, растягивает подвес и опускается, значит, сила тяжести совершает работу. За счет такой работы увеличивается энергия деформированного тела, которое перешло из ненапряженного состояния в напряженное. Получается, что при деформации внутренняя энергия тела увеличивается. Рост внутренней энергии тела заключается в увеличении потенциальной энергии, которая связана со взаимным расположением молекул тела. Если мы имеем дело с упругой деформацией, то после снятия нагрузки, дополнительная энергия исчезает, и за ее счет силы упругости совершают работу. В ходе упругой деформации температура твердых тел существенно не увеличивается. В этом состоит их значительное отличие от газов, которые при сжатии нагреваются. При пластической деформации твердые тела могут значительно увеличивать свою температуру. В повышении температуры, следовательно, кинетической энергии молекул, отражается рост внутренней энергии тела при пластической деформации. При этом увеличение внутренней энергии происходит также за счет работы сил, вызывающих деформацию.

Для того чтобы растянуть или сжать пружину следует выполнить работу () равную:

где - величина характеризующая изменение длины пружины (удлинение пружины); - коэффициент упругости пружины. Данная работа идут на изменение потенциальной энергии пружины ():

При записи выражения (2) считаем, что потенциальная энергия пружины без деформации равна нулю.

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня при его продольной деформации равна:

где - модуль Юнга; - относительное удлинение; - объем стержня. Для однородного стержня при равномерной его деформации плотность энергии упругой деформации можно найти как:

Если деформация стержня является неравномерной, то при использовании формулы (3) для поиска энергии в точке стержня в эту формулу подставляют значение для рассматриваемой точки.

Плотность энергии упругой деформации при сдвиге находят, используя выражение:

где - модуль сдвига; - относительный сдвиг.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

4.5. П р и м е р ы

4.5.1. Потенциальная энергия растянутой пружины

Обозначим через х растяжение пружины, т.е. разность длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях.

При возвращении пружины из деформированного состояния в недеформированное сила совершает работу.

. (12)

Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированной пружины

. (13)

4.5.2. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек

На рис. 5 изображены две материальные точки массы m 1 и m 2 . Положение их характеризуется радиусами-векторами исоответственно. Элементарная работа, совершаемая силами гравитационного притяжения этих точек, где
– сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй, а
– сила, действующая на вторую м
атериальную точку со стороны первой; согласно 3-му закону Ньютона
=-
;и
– элементарные перемещения материальных точек. С учетом этого, где
. Учитывая, что
и
противоположно направлены и что величина
,находим . Полная работа

где R 1 и R 2 – начальное и конечное расстояние между материальными точками.

Эта работа равна изменению потенциальной энергии A = W n 1 - W n 2 . Учитывая (14), находим, что потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек

или
(15)

где R илиr – расстояние между материальными точками.

4.5.3. Потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести Земли

Формула (15) справедлива также для однородных сферических тел; в этом случае r – расстояние между центрами масс таких тел. В частности, потенциальная энергия тела массы т , находящегося в поле гравитации Земли, масса которой М ,

(16)

Изменение потенциальной энергии тела массы m , поднятого с поверхности Земли (r = R , где R – радиус Земли) на высоту h (r = R + h ), согласно (16), равно:

(17)

Если h << R , то в знаменателе формулы (17) можно пренебречь слагаемым h и она перейдет в известную формулу

или
, (18)

если потенциальную энергию на поверхности Земли принять равной нулю, где
– ускорение силы тяжести на поверхности Земли. Таким образом, формула (18) была получена в предположении, что сила тяжести (и ускорение силы тяжести) не изменяются с высотой h , т.е. поле силы тяжести Земли однородно. Поэтому формула (18) является приближенной формулой, в отличие от строгой формулы (16).

Л е к ц и я № 5 . К и н е т и ч е с к а я э н е р г и я, з а к о н с о х р а н е н и я э н е р г и и

5.1. Кинетическая энергия

Напишем уравнение движения материальной точки (частицы) массы m , движущейся под действием сил, результирующая которых равна :
.

Умножим скалярно правую и левую часть этого равенства на элементарное перемещение точки
, тогда

. (1)

Так как
, то легко показать, чтоИспользуя последнее равенство и то обстоятельство, что масса материальной точки постоянная величина, преобразуем (1) к виду
.

Проинтегрировав части этого равенства вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2, имеем:

.

Согласно определению первообразной и формуле (4.3) для работы переменной силы, получим соотношение:
.

Величина

называется кинетической энергией материальной точки.

Таким образом мы приходим к формуле

, (3)

из которой следует, что работа результирующей всех сил , действующих на материальную точку, расходуется на приращение кинетической энергии этой частицы.

Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной системы материальных точек.

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить:
.

Напишем соотношение (3) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получим формулу, аналогичную (3), но для системы материальных точек.

, (4)

где
и
– кинетические энергии системы, а под
необходимо понимать сумму работ всех сил, действующих на материальные точки системы.

Таким образом мы доказали теорему (4): работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.