Для решения задач при помощи теоремы об изменении кинетической энергии требуется умение вычислять кинетическую энергию и работу сил. Вычисление работы рассмотрено в предыдущих пунктах. Здесь рассмотрим вычисление кинетической энергии.
В общем случае кинетическая энергия системы вычисляется по формуле
Если система состоит из нескольких твердых тел, то кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий отдельных тел: .
Рассмотрим, как вычисляется кинетическая энергия тела в различных случаях движения. При этом будем исходить из общей формулы для кинетической энергии системы, в которой под будем понимать теперь массы и скорости малых частиц тела, на которые мысленно разбивается движущееся тело.
При поступательном движении скорости всех точек тела геометрически равны: для вычисления кинетической энергии получаем формулу
(скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля), то в конечном результате содержится модуль v скорости v тела.
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении определяется так же, как для материальной точки с массой и скоростью, равными массе и скорости тела:
При вращательном движении (рис. 52) будем иметь.
Получено правило: кинетическая энергия тела при его вращении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.
При сложном движении тела кинетическую энергию вычисляют при помощи следующей теоремы (теоремы кинетическая энергия механической системы равна кинетической энергии ее центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, плюс кинетическая энергия системы в ее относительном движении по отношению к осям Кёнига.
Докажем эту теорему. Пусть скорости материальных точек системы относительно неподвижной системы координат Oxyz равны соответственно . Введем вспомогательную систему координат С началом в центре масс системы С и осями, движущимися поступательно вместе с центром масс (рис. 53; на рисунке оси выбраны соответственно параллельными осям ). Как и для твердого тела (см. с. 56 и рис. 32) эти вспомогательные оси называются осями Кёнига. Теперь движение каждой точки системы можно рассматривать как движение сложное, в котором переносным является движение осей Кёнига, а относительным - движение точки по отношению к осям Кёнига. Для скоростей , являющихся абсолютными скоростями, на основании теоремы сложения скоростей можем записать:
Здесь учтено, что при переносном поступательном движении переносные скорости всех точек одинаковы и равны скорости начала по-движной системы координат (в данном случае - скорости центра масс). Подставляя это выражение в формулу для кинетической энергии системы, получаем:
В этой формуле - кинетическая энергия системы в относительном движении по отношению к осям Кёнига; - относительная скорость центра масс по отношению к этим же осям. В силу выбора подвижных осей и из полученного равенства следует - момент инерции тела относительно оси Кёнига, перпендикулярной плоскости движения. После подстановки этого значения в формулу Кёнига, получаем
По этой формуле и следует вычислять кинетическую энергию тела при плоскопараллельном движении.
Потенциальная и кинетическая энергия позволяют охарактеризовать состояние любого тела. Если первая применяется в системах взаимодействующих объектов, то вторая связана с их движением. Эти виды энергии, как правило, рассматриваются тогда, когда сила, связывающая тела, независима от траектории движения. При этом важны только начальное и конечное их положения.
Общие сведения и понятия
Кинетическая энергия системы является одной из важнейших ее характеристик. Физики выделяют два вида такой энергии в зависимости от вида движения:
Поступательная;
Вращения.
Кинетическая энергия (Е к) представляет собой разность между полной энергией системы и энергией покоя. Исходя из этого, можно сказать, что она обусловлена движением системы. Тело имеет ее только тогда, когда оно движется. В состоянии покоя объекта она равняется нулю. Кинетическая энергия любых тел зависит исключительно от скорости движения и их масс. Полная энергия системы находится в прямой зависимости от скорости ее объектов и расстояния между ними.
Основные формулы
В том случае, когда любая сила (F) действует на тело, находящееся в покое так, что оно приходит в движение, можно говорить о совершении работы dA. При этом величина этой энергии dE будет тем выше, чем больше совершается работы. В этом случае верно такое равенство: dA = dE.
С учетом пути, пройденного телом (dR) и его скорости (dU), можно воспользоваться 2 законом Ньютона, исходя из которого: F = (dU/dE)*m.
Вышеуказанный закон используется только тогда, когда имеется инерциальная система отсчета. Существует еще один важный нюанс, учитываемый при расчетах. На значение энергии влияет выбор системы. Так, согласно системе СИ, она измеряется в джоулях (Дж). Кинетическая энергия тела характеризуется массой m, а также скоростью перемещения υ. В этом случае она составит: E k = ((υ*υ)*m)/2.
Исходя из вышеуказанной формулы, можно сделать вывод, что кинетическую энергию определяют массой и скоростью. Иными словами, она представляет собой функцию движения тела.
Энергия в механической системе
Кинетическая энергия представляет собой энергию механической системы. Она зависит от скорости движения ее точек. Данная энергия любой материальной точки представляется такой формулой: E = 1/2mυ 2, где m - масса точки, а υ - ее скорость.
Кинетическая энергия механической системы являет собой арифметическую сумму таких же энергий всех ее точек. Ее также можно выразить следующей формулой: E k = 1/2Mυ c2 + Ec, где υc — скорость центра масс, М - масса системы, Ec - кинетическая энергия системы при движении вокруг центра масс.
Энергия твердого тела
Кинетическая энергия тела, которое движется поступательно, определяется как и такая же энергия точки с массой, равной массе всего тела. Для расчета показателей при перемещении применяются более сложные формулы. Изменение этой энергии системы в момент ее перемещения из одного положения в другое происходит под воздействием приложенных внутренних и внешних сил. Оно равняется сумме работ Aue и A"u данных сил при этом перемещении: E2 - E1 = ∑u Aue + ∑u A"u.
Данное равенство отражает теорему, касающуюся изменения кинетической энергии. С ее помощью решаются самые разные задачи механики. Без этой формулы невозможно решить целый ряд важнейших задач.
Кинетическая энергия при высоких скоростях
Если скорости тела близки к скорости света, кинетическую энергию материальной точки можно рассчитать по следующей формуле:
E = m0c2/√1-υ2/c2 - m0c2,
где с - скорость света в вакууме, m0 - масса точки, m0с2 - энергия точки. При маленькой скорости (υ Во время вращения тела вокруг оси каждый его элементарный объем массой (mi) описывает окружность радиусом ri. В этот момент объем имеет линейную скорость υi. Поскольку рассматривается твердое тело, угловая скорость вращения всех объемов будет одинакова: ω = υ1/r1 = υ2/r2 = … = υn/rn (1). Кинетическая энергия вращения твердого тела представляет собой сумму всех таких же энергий его элементарных объемов: E = m1υ1 2/2 + miυi 2/2 + … + mnυn 2/2 (2). При использовании выражения (1), получаем формулу: E = Jz ω 2/2, где Jz - это момент инерции тела вокруг оси Z. При сравнении всех формул становится ясно, что момент инерции - это и есть мера инертности тела во время вращательного движения. Формула (2) подходит для объектов, вращающихся относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия тела, движущегося вниз по плоскости, складывается из энергии вращения и поступательного движения: E = mυc2/2 + Jz ω 2/2, где m - масса движущегося тела, Jz - момент инерции тела вокруг оси, υc - скорость центра масс, ω - угловая скорость. Изменение значения кинетической энергии тесно связано с потенциальной. Суть этого явления можно понять благодаря закону сохранения энергии в системе. Сумма E + dP во время перемещения тела всегда будет одинаковой. Изменение значения E всегда происходит одновременно с изменением dP. Таким образом, они преобразуются, словно перетекая друг в друга. Такое явление можно встретить практически во всех механических системах. Потенциальная и кинетическая энергии тесно связаны между собой. Их сумму можно представить как полную энергию системы. На молекулярном уровне - это внутренняя энергия тела. Она присутствует постоянно, пока существует хотя бы какое-то взаимодействие между телами и тепловое движение. Для проведения вычисления значения энергии выбирают произвольный момент (его считают начальным) и систему отсчета. Определить точную величину потенциальной энергии возможно только в зоне воздействия сил, которые не зависят от траектории движения тела при совершении работы. В физике данные силы называют консервативными. Они имеют постоянную связь с законом сохранения энергии. Если внешнее воздействие минимально или сводится к нулю, изучаемая система всегда будет тяготеть к состоянию, в котором ее потенциальная энергия также будет стремиться к нулю. Например, подброшенный вверх мячик достигнет предела этой энергии в верхней точке траектории движения и в тот же момент начнет падать вниз. В это время накопленная в полете энергия преобразуется в движение (выполняемую работу). Для потенциальной энергии в любом случае существует взаимодействие как минимум двух тел (в примере с мячиком гравитация планеты оказывает на него влияние). Кинетическую энергию можно рассчитать индивидуально для любого движущегося тела. Потенциальная и кинетическая энергия изменяются исключительно при взаимодействии тел, когда действующая на тела сила совершает работу, значение которой отлично от нуля. В замкнутой системе работа силы тяготения или упругости равняется изменению потенциальной энергии объектов со знаком «-»: A = - (Ep2 - Ep1). Работа силы тяготения или упругости равняется изменению энергии: A = Ek2 - Ek1. Из сравнения обоих равенств ясно, что изменение энергии объектов в замкнутой системе равняется изменению потенциальной энергии и противоположно ему по знаку: Ek2 - Ek1 = - (Ep2 - Ep1), или иначе: Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2. Из указанного равенства видно, что сумма этих двух энергий тел в замкнутой механической системе и взаимодействующих силами упругости и тяготения, всегда остается постоянной. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что в процессе изучения механической системы следует рассматривать взаимодействие потенциальной и кинетической энергий. А4. Какие изменения отмечает человек в звуке при увеличении частоты колебаний в звуковой волне? А5. Расстояния от двух когерентных источников волн до точки М равны а и b. Разность фаз колебаний источников равна нулю, длина волны равна l. Если излучает только один источник волн, то амплитуда колебаний частиц среды в точке М равна А1, если только второй, то – А2. Если разность хода волн a – b =3l/2 , то в точке М амплитуда суммарного колебания частиц среды А6. Выберите правильное утверждение. А7. Какое утверждение верно? А8. В одной научной лаборатории для ускорения заряженных частиц используется линейный ускоритель, а во второй – циклотрон, в котором частицы разгоняются, двигаясь по спиралевидной траектории. В какой из лабораторий следует учесть возможность возникновения опасных для человека электромагнитных излучений. А9. Какое утверждение правильное? А10. Заряженная частица не излучает электромагнитные волны в вакууме А11. Скорость распространения электромагнитных волн А12. В первых экспериментах по изучению распространения электромагнитных волн в воздухе были измерены длина волны см и частота излучения МГц. На основе этих неточных экспериментов было получено значение скорости света в воздухе, равное примерно А13. Колебания электрического поля в электромагнитной волне описываются уравнением: Е=10sin(107t). Определите частоту колебаний (в Гц). А14. При распространении электромагнитной волны в вакууме А15. При прохождении электромагнитной волны в воздухе происходят колебания А16. Явлением, доказывающим, что в электромагнитной волне вектор напряжённости электрического поля колеблется в направлении, перпендикулярном направлению распространению электромагнитной волны, является А17. Укажите сочетание тех параметров электромагнитной волны, которые изменяются при переходе волны из воздуха в стекло А18. Какое явление характерно для электромагнитных волн, но не является общим свойством волн любой природы? А19. На какую длину волны нужно настроить радиоприемник, чтобы слушать радиостанцию «Европа+», которая вещает на частоте 106,2 МГц? А20. Амплитудная модуляция высокочастотных электромагнитных колебаний в радиопередатчике используется для Кинетическая энергия - скалярная физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.
Что бы понять, что же такое кинетическая энергия тела, рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v1 до v2.
Как мы знаем, работа постоянной силы вычисляют по формуле . Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то , и тогда у нас получается, что работа силы равна А=Fs. По второму закону Ньютона найдем силу F=ma. Для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула:
Из это формулы мы выражаем перемещение тела:
Подставляем найденные значения F и S в формулу работы, и получаем:
Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины . А механическая работа это и есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается Wк.
Если взять выведенную нами формулу работы, то у нас получится
Работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела
Так же есть: Потенциальная энергия: В формуле мы использовали: Кинетическая энергия Масса тела Скорость движения тела
Энергия при вращении системы
Плоское движение тела
Изменение энергии в механической системе
Взаимосвязь энергий
Выбор системы отсчета
Суть разницы между потенциальной и кинетической энергией
Взаимосвязь разных энергий
1) Повышение высоты тона
2) Понижение высоты тона
3) Увеличение громкости
4) Уменьшение громкости
1) равна нулю 2) равна | А1 – А2| 3) равна | А1 + А2|
4) меняется со временем периодически
А. Опираясь на эксперименты Фарадея по исследованию электромагнитной индукции, Максвелл теоретически предсказал существование электромагнитных волн.
В. Опираясь на теоретические предсказания Максвелла, Герц обнаружил электромагнитные волны экспериментально.
С. Опираясь на эксперименты Герца по исследованию электромагнитных волн, Максвелл создал теорию их распространения в вакууме.
1) Только А и В 2) Только А и С 3) Только В и С 4) И А, и В, и С
В теории электромагнитного поля Максвелла
А – переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное поле
Б – переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле
1) Только в первой 2) Только во второй 3) В обеих лабораториях
4) Ни в одной из лабораторий
Излучение электромагнитных волн происходит при
А – движении электрона в линейном ускорителе
Б – колебательном движении электронов в антенне
1) Только А 2) Только Б 3) И А, и Б 4) Ни А, ни Б
1) равномерном прямолинейном движении
2) равномерном движении по окружности
3) колебательном движении
4) любом движении с ускорением
1) имеет максимальное значение в вакууме
2) имеет максимальное значение в диэлектриках
3) имеет максимальное значение в металлах
4) одинакова в любых средах
1) 100000 км/с 2) 200000 км/с 3) 250000 км/с 4) 300000 км/с
1) 107 2) 1,6 *106 3)(107 t) 4) 10
1) происходит только перенос энергии
2) происходит только перенос импульса
3) происходит перенос и энергии, и импульса
4) не происходит переноса ни энергии, ни импульса
1) молекул воздуха
2) плотности воздуха
3) напряжённости электрического и индукции магнитного полей
4) концентрации кислорода
1) интерференция 2) отражение 3) поляризация 4) дифракция
1) скорость и длина волны 2) частота и скорость
3) длина волны и частота 4) амплитуда и частота
1) интерференция 2) преломление 3) поляризация 4) дифракция
1) 2,825 дм 2) 2,825 см 3) 2,825 км 4) 2,825 м
1) увеличения мощности радиостанции
2) изменения амплитуды высокочастотных колебаний
3) изменения амплитуды колебаний звуковой частоты
4) задания определенной частоты излучения данной радиостанции
